Herleiden » Basisregels herleiden

Inhoud

1. Optellen en aftrekken 
2. Vermenigvuldigen
3. Hogere machten vermenigvuldigen
4. Door elkaar
5. Machten van machten

Herleiden » Haakjes wegwerken

Inhoud

Enkele haakjes
    1. Rechthoekmethode
    2. Papegaaienbekmethode
    3. Vermenigvuldigtabel
    4. Voorbeelden enkele haakjes
Dubbele haakjes
    1. Rechthoekmethode
    2. Papegaaienbekmethode
    3. Vermenigvuldigtabel
    4. Voorbeelden dubbele haakjes

1. Optellen en aftrekken

In de formule b = 4w + 3w + 6 noem je 4w en 3w gelijksoortige termen.
Gelijksoortige termen kun je samennemen.
Op die manier kun je de formule korter schrijven als b = 7w + 6.

In de formule p = 4a + 2 + 2b staan geen gelijksoortige termen.
Daarom kun je deze formule niet korter schrijven.
Je antwoord dan 'k.n.k.' of 'kan niet korter'.
Let op: a2 en a zijn geen gelijksoortige termen.

Voorbeelden

a + a = 2a
a – a = 0
3a + 7a = 10a
3a + 7b = kan niet korter
8a – 10a = –2a
20a – a = 19a
8a2 + 3a2 = 11a2
4a2 + 2a = kan niet korter

2. Vermenigvuldigen

We nemen als voorbeeld even het sommetje 4a × –3a
De vermenigvuldiging betekent eigenlijk 4 × a × –3 × a
Dat mag je schrijven als 4 × –3 × a × a = –12a2
Noot: Een formule met een ×-teken kan altijd korter worden geschreven.

Voorbeelden

a × a = a2
3a × a = 3a2
a × b = ab
3a × 4b = 12ab
7a × –2a = –14a2

3. Hogere machten vermenigvuldigen

Als je hogere machten met elkaar vermenigvuldigd, dan tel je de exponenten bij elkaar op.
a3 × a5 = a × a × a × a × a × a × a × a = a(3 + 5) = a8

Voorbeelden

4a4 × 5a2 = 20a6
a4 × b7 = a4b7
3a4 × 4a5 × –2b4 = –24a9b4

4. Door elkaar

Uiteraard zal je formules moeten herleiden waar +, –, × en : en machten door elkaar gebruikt worden. Kijk eventueel bij de rekenregels.
Bij verschillende bewerkingen moet je tussenstappen laten zien! Het is overzichtelijker om deze, net als bij vergelijkingen, onder elkaar op te schrijven.

Voorbeelden

3x + 4x × 5x =
3x + 20x2

3x2 + 4x × 5x =
3x2 + 20x2 = 23x2

(3x + 4x) × 5x =
7x × 5x = 35x2

4x2(4x – x) – 4x3 =
4x2 × 3x – 4x3 =
12x3 – 4x3 = 8x3

5. Machten van machten

Als je een macht van een macht neemt, dan is dat eigenlijk een vermenigvuldiging.
Bedenk dat a2 = a × a. Dus (ab)2 = ab × ab = a2b2.

Kijk maar eens naar het volgende voorbeeld:
(3a4b2)3 = 3a4b2 × 3a4b2 × 3a4b2 = 27a12b6
of:
(3a4b2)3 = 33(a4)3(b2)3 = 27a12b6

Het zal je waarschijnlijk wel opvallen dat de exponenten nu vermenigvuldigd worden.

Voorbeelden

(a5)3 = a15
(3a4)2 = 32(a4)2 = 9a8

Let op:
(–3a3b4)4 = (–3)4(a3)4(b4)4 = 81a12b16

Herleiden » Haakjes wegwerken

Inhoud

Enkele haakjes
    1. Rechthoekmethode
    2. Papegaaienbekmethode
    3. Vermenigvuldigtabel
    4. Voorbeelden enkele haakjes
Dubbele haakjes
    1. Rechthoekmethode
    2. Papegaaienbekmethode
    3. Vermenigvuldigtabel
    4. Voorbeelden dubbele haakjes

Enkele haakjes

Methode 1: Rechthoekmethode

Stel je wilt de formule q = 2(p + 8) zonder haakjes schrijven.
Dan kun je dat doen door je een rechthoek voor te stellen met een hoogte van 2 en een breedte van p + 8.

De oppervlakte van deze rechthoek is 2 × p + 2 × 8 = 2p + 16. Dus:
q = 2(p + 8) = 2p + 16.

Je kan ook zien dat in de rechthoek het linkervakje een oppervlakte heeft van 2p en het rechtervakje van 2 × 8 = 16. Samen q = 2p+ 16.

Methode 2: Papegaaienbekmethode

De papagaaienbekmethode is de snelste van alle drie. Je weet dat je de factor die voor (of achter) de haakjes staat, moet vermenigvuldigen met de termen tussen de haakjes. Als hulp kan je pijlen (of lijen) tekenen van de factor naar de termen. Langs die pijlen ga je dan vermenigvuldigen. Als je dit eenmaal doorhebt, dan hoef je de pijlen niet meer te tekenen.

Pijl 1 geeft 3 × 2a = 6a
Pijl 2 geeft 3 × 4 = 12

Methode 3: Vermenigvuldigtabel

De opgave zet je met deze methode in een vermenigvuldigtabel.
De factor komt in de eerste kolom te staan en de termen in de bovenste rij.
Dan ga je de factor vermenigvuldigen met de termen.

Voorbeeld
Herleid b = 5a(2a + 4)

×2a45a10a220a

De groene tekst vul je in aan de hand van de gegeven formule. Het rode reken je uit.
Het antwoord is dan de rode vakjes opgeteld.
In dit geval dus b = 10a2 + 20a

Voorbeelden enkele haakjes

b = 3a(5a + 3) = 15a2 + 9a
b = 3a(5a – 3) = 15a2 – 9a
b = 3a(–5a + 3) = –15a2 + 9a
b = 3a(–5a – 3) = –15a2 – 9a
b = –3a(5a + 3) = –15a2 – 9a
b = –3a(5a – 3) = –15a2 + 9a
b = –3a(–5a + 3) = 15a2 – 9a
b = –3a(–5a – 3) = 15a2 + 9a

Let op:
b = –(5a – 3) = –5a + 3
b = (4a – 7)3 = 12a – 21
b = (4a – 7) + 3 = 4a – 7 + 3 = 4a – 4

Voorbeeld voor gevorderden (tussenstappen staan onder elkaar):
–2a(b – 3c) – 5c(a + 2b) =
–2ab + 6ac – (5ac + 10bc) =
–2ab + 6ac – 5ac – 10bc =
–2ab + ac – 10bc

Dubbele haakjes

Methode 1: Rechthoekmethode

Stel je wilt de formule q = (p + 3)(p + 8) zonder haakjes schrijven.
Dan kun je dat doen door je een rechthoek voor te stellen met een hoogte van p + 3 en een breedte van p + 8.

Je kan van ieder vakje de oppervlakte berekenen
De oppervlakte van de hele rechthoek is dan:
q = p2 + 8p + 3p + 24 = p2 + 11p + 24.

Methode 2: Papegaaienbekmethode

De papagaaienbekmethode is weer de snelste van alle drie. Je zorgt dat je iedere term tussen de eerste haakjes een keer vermenigvuldigt met elke termen tussen de tweede haakjes.
Als hulp kan je weer de pijlen (of lijnen) tekenen. Langs die pijlen ga je dan vermenigvuldigen.

Pijl 1 geeft 4a × 2a = 8a2
Pijl 2 geeft 4a × –7 = –28a
Pijl 3 geeft 3 × 2a = 6a
Pijl 4 geeft 3 × –7 = –21
Deze tel je alle vier op en dan krijg je:
8a2 – 28a + 6a – 21 = 8a2 – 22a – 21

Methode 3: Vermenigvuldigtabel

De opgave zet je met deze methode in een vermenigvuldigtabel.
De twee termen van de eerste factor komen onder elkaar in de eerste kolom te staan
en de termen van de tweede factor naast elkaar in de bovenste rij.

Voorbeeld
Herleid b = (3 + 5a)(2a – 4)

×2a–436a–125a10a2–20a

De groene tekst vul je in aan de hand van de gegeven formule. Het rode reken je uit.
Het antwoord is dan de rode vakjes opgeteld.
In dit geval dus b = 6a + –12 + 10a2 + –20a = 10a2 – 14a – 12.

Voorbeelden dubbele haakjes

(2a + 3)(4a + 3) =
8a2 + 6a + 12a + 9 =
8a2 + 18a + 9
(3a + 2)(5a – 3) =
15a2 – 9a + 10a – 6
15a2 + a – 6
 (5a – 7)(4a – 6) =
20a2 – 30a – 28a + 42 =
20a2 – 58a + 42
(5a + 3b)(2a – 7b) =
10a2 – 35ab + 6ab – 21b2 =
10a2 – 29ab – 21b2
 –(2a + 4)(5a – 3) =
–(10a2 – 6a + 20a – 12 =
–(10a2 + 14a – 12) =
–10a2 – 14a + 125(3a + 5)(2a + 3) =
5(6a2 + 9a + 10a + 15) =
5(6a2 + 19a + 15) =
30a2 + 95a + 75 (3a – 4a2)(5a – 3) =
15a2 – 9a – 20a3 + 12a2 =
–20a3 + 27a – 9a
(3a2b – b3)(2b2 – a) =

Overig